Головна   Всі книги

з lb. Формула Блека і Шоулса. I. Мартінгальний висновок

1. Як вже відмічалося вище, лінійна модель Башелье

St=S0 + pt + oWt (1)

страждає, передусім, тим недоліком, що ціни St можуть приймати негативні значення.

Більш найбільш реалістичний модель геометричного (також говорять - економічного, [420]) броунівського руху, в якої ціни представлені у вигляді

St^Soe**, (2)

де

2

Ht=(n-\)t + °Wt.)((3)

St

(4)

Інакше говорячи,

Застосовуючи формулу Іто (з 3d, гл.)(

ПІ), знаходимо, що

dSt = St{ndt + adWt).

Часто в символічній формі це вираження записують у вигляді

dSt

~ = pdt + adWt,

St

що підкреслює аналогію з формулою

- = Ц + оєп,

n-l

використаної вище, наприклад, в моделі Кокса-Росса-Рубинштейна у разі дискретного часу (див. з 1е, гл. II).

Модель геометричного броунівського руху (2) була запропонована в 1965 році П. Самуельсоном в роботі [420], і саме вона лягла в основу моделі Блека-Мертона-Шоулса, з якою пов'язана славнозвісна формула Блека і Шоулса для раціональної вартості стандартного опцио-на-колл Європейського типу з функцією виплат fx = (St - отримана в 1973 році в роботах [44] і [346].

2. Отже, будемо розглядати (В, S)-модель Блека-Мертона-Шоулса, передбачаючи, що банківський рахунок В = (Bt)t^про еволюціонує так, що

(5)

dBt = rBt dt,

а ціни акцій S = (St)t^про підкоряються геометричному броунівському руху:

(6)

dSt = St(ndt + odWt).

Таким чином, нехай

Bt = B0ert,

Теорема (формула Блекаї Шоулса). У моделі (5)-(6) раціональна вартість Ст - З (/т; Р) стандартного опциона-колл Європейського типу з платіжною функцією /т = (ST - ДО)+ визначається формулою

(9)

оу/Т

Ст = *. (!»І±ї?±І1) _

Зокрема, при SQ = До иг - Об

(10)

Ст = Sq

Гт

і Ст ~ До J - при Т - > 0 (ср. з формулою (6) в з1а).

Доказ цієї формули, даний в роботах [44] і [346], буде приведений в наступному параграфі. Зараз же буде даний доказ, який природно назвати "мартингальним" і для якого все необхідне було підготовлено в гл. VII.

Використовуючи ті ж або аналогічні позначення, що і в попередньому параграфі, покладемо

і нехай Рт - міра на (ft, &т) така, що сіРт - ZT гіРтПо

теоремі Гирсанова (зЗЬ, гл. VII) процес W - (Wt)t^Т з Wt = і, - г ~

Wt Н t є цо мірі Рт винеровским процесом, і, значить,

об

Law (pt + oWu t^TІ Рт) = Law (rt + oWt\ t^T\PT)

= Law (rt + orWt;)(t^Т ¦ PT).

Тому

Law(5t; Т¦PT) = Law (s, 0e('i~i?)t'bTW't; t Т ¦ PT)

= Law(50e(r-^)t+CTWrt; З теореми в з 4а, гл. VII, слідує, що в класі 0-допустимих стратегій 7 р = (/3, - у) з j 72S2du-' Про

З (/т; Р) визначається наступною формулою:

(13)

Оскільки у випадку, що розглядається fт - (четом (12) і властивості автомодельности винеровского процесу (Law(WT) = Law(VTWi)), знаходимо, що

СТ = = е-^ Ерт (5т - ДО)+

= e-rTEPT(Soe(r~^)Т^wr-K) +

= е-гТ Ерт (е-^Т+oVTw, ку = е~гТЕ (аеъ^ - до)+, (14)

де

а = S0erT, b = aVT, (15)

Простий підрахунок показує, що

Тим самим, з (14)-(16) слідує, що

' In& + "

Ст

Підставляючи сюди значення а - SoerT і b = ау/Т, приходимо до формули Блека і Шоулса (9). Теорема доведена.

Зауваження 1. Якщо покласти

У± =

ау/Т

те формулі (9) можна додати більш компактний вигляд:

(17)

СТ = S0My+) - Ке-гТФ (у-).)(

Нехай Рт - раціональна вартість стандартного опциона-путп Європейського типу з платіжною функцією /т = {До - Sx)+ - Тоді, оскільки

- гТ

Рт = Ст - S0 + Ке

(ср. з "паритет колл-пут" тотожністю (9) в з4d, гл. VI), те

Рт = -S0

(18)

)]

- гТ

+ Ке

as/Т

1 - ф^

або

(19)

Рт = (-у+) + Ке-гТФ (-у-).)(

3.)(Модель, що Розглядається є Т-повною (див. визначення 1 в з 2d, гл.)(

VII), і існує 0-допустима стратегія ж = (/3,7), для шторою відповідаючий їй капітал Хж = (X?)t^х такий, що XJ = Ст і XJ. в точності відтворює fxХ

¦ = /т (Р-п. н.).

Згідно з теоремою із з 4Ь, гл. VII,

X* = Bt Е? т (jg- I ^ = е'^-t) ЕРт (ST - ДО)+ \

= е-^"*) Ерт yT-t)+*= Е? т ^(Ste(f-4)cr-t)+,(WT-wt) _ до)+ j ^

= e-V-*) Ерт _ до)+ [ St j

= Е^І^е6^ - ДО)+ I St)

= j (20)

де

а = Ster^T_t\ b = (VT^t, ^-^(0,1),

при цьому St і? = IVy-Wt є незалежними відносно початкової міри

V СГ\? Т - t)

Так само, як і в з 1а (див. п. 3), встановлюється, що у оптимального хеджуючого портфеля 7Г - (pt, 7t)t^Т

f)З

7t=Qs{t'St) -(22)

З (21) після простих перетворень знаходимо, що

1. Опціони Європейського типу на дифузійних (В, 5)-ринках 917 (ср. з формулою (16) в з 1а), і оскільки /3tBt + 7tSt = З (t, St), то

Цікаво відмітити, що 0К ~

сподівається взяття в борг з банківського рахунку, але так, що - - У

Як і у разі моделі Башелье, тут також виконані властивості (20) і (21) із з 1а:

якщо t^Tue околиці моменту Т ціни, St > До, то

7tSt -)¦ ST, PtBt -)¦ - До-і

якщо 11 Т і в околиці моменту Т ціни St7tSt -»¦ 0, PtBt -»¦ 0.

Зауваження 2. Розглянута вище ціна З{t, St) залежить, зрозуміло, також і від параметрів г і сг, що визначають початкову модель. Щоб підкреслити цю залежність, будемо означати цю ціну З = З(t, s, г, а) (з St = s).

На практиці часто буває важливо мати уявлення про те, яка "чутливість" ціни З(t, s, r, a) до зміни параметрів t, s, г, а. Стандартними заходами такої "чутливості" є наступні величини (див., наприклад, [36] і [415]):

Л дС л дС дС " дС

9 = ~dt >

(Буква 'К' вимовляється тут як ' вега'.)

У разі моделі Блека і Шоулса з (21) знаходимо, що

в - sM^tt)] - rKe-^-*4(у-(Т -1)),

А = Ф (у+(Т)), р = До (Т - г) е-ггде

g±(Т-*)= aVT^t -

4. Підрахунок величини Су, даний в (14)-(16), може бути зроблений трохи інакше, засновуючись на ідеях відповідного вибору дисконтуючого процесу ("numeraire"), викладених в з lb, гл. VII.

З цією метою перепишемо формулу (13) з /т = (St - в наступному вигляді:

= У Ерт /(ST > /Г) - ^e-rTEpT/(ST > if) -(25)

У силу (12), підрахунок Ep^/(S-r > ДО) не представляє труднощів:

Р.)

Для підрахунку ж У Ер -/(S-r > if) введемо пропесс Z ¦ (Zt)t^Т,

т ІЗТ

Важливо відмітити, що процес Z є позитивним мартингалом (по "мартингальной" мірі Рт) з Ер^Z? - 1- Тим самим, можна ввести нову міру Рт, вважаючи

dPT = ZTdPT- (28)

(В роботі [434] міра Рт називалася дуальной (по відношенню до Рт) мар-тингальной мірою.) З (7) і (8)

Zt = e'W'H-O'-= е'^*,

- - її f -

де Wt = Wt4 t, t ^ Т, є винеровским процесом ПО мірі Рт-про

По теоремі Гирсанова (з Зе, гл. III або з ЗЬ, гл. VII) легко перевіряється, що відносно міри Рт винеровским буде процес

Wt = Wt-trt (=Wt+(J^-a)ty t^tI(St > ДО) і, тим самим, з (25) слідує, що

Ст = So EFt/(ST ЖЕ) -Ke-rTEpTI(ST > ДО). (30)

Аналогічно з (12),

Law(St;iВ частковості, якщо? ~ ^(0,1), те

Law(ST ¦ Рт) = Law(s0e(r+^)Т - е0"^ ¦ Рт).

Звідси

З (30), (26) і (32) отримуємо, як і було вказано на початку цього пункту, трохи інакше виведення, Блека і Шоулса (9) для Ст- з 1с. Формула Блека і Шоулса. II. Форми безготівкових розрахунків: розрахунки платіжними дорученнями; розрахунки по акредитиву; розрахунки:  Форми безготівкових розрахунків: розрахунки платіжними дорученнями; розрахунки по акредитиву; розрахунки чеками; розрахунки по інкасо.
Форми безготівкових розрахунків: Безготівкові розрахунки проводяться на основі розрахункових документів:  Форми безготівкових розрахунків: Безготівкові розрахунки проводяться на основі розрахункових документів встановленої форми і з дотриманням відповідного документообігу (положення об безнал. расч. в РФ від 03.10.02 м.). У залежності від вигляду розрахункових документів, способу платежу і
6.2. Форми безготівкових розрахунків: Застосування тієї або інакшої форми безготівкових розрахунків, принцип її:  6.2. Форми безготівкових розрахунків: Застосування тієї або інакшої форми безготівкових розрахунків, принцип її вибору гірм висновку договорів і операцій залежать від конкретної економічної ситуації з країні і зазнають зміни при проведенні реформ в господарській сфері. Вибір форми
6.3. Форми безготівкових розрахунків: Безготівкові розрахунки проводяться на основі розрахункових документів:  6.3. Форми безготівкових розрахунків: Безготівкові розрахунки проводяться на основі розрахункових документів встановленої форми і з дотриманням відповідного документообігу. У залежності від вигляду розрахункових документів, способу платежу і організації документообігу в банку, v
1.1. Формули наращения і дисконтування: І нулем позначення, які будемо використовувати надалі: Р -:  1.1. Формули наращения і дисконтування: І нулем позначення, які будемо використовувати надалі: Р - первинна сума довга; S - нарощена сума позики (депозиту або інших інвестиційних грошових коштів); п - термін позики або фінансової угоди It роках; / - процентні
ФОРМУЛИ: 1. Кількість грошей, необхідних для звертання Сума цін Сума цін:  ФОРМУЛИ: 1. Кількість грошей, необхідних для звертання Сума цін Сума цін Сума пла- Сума взаємно Кількість реализуе- + товарів, + тежей по + пога- грошей, непро- = мих това- проданих в обязательст- шающих- ходимих для рів кредит вам ця платі- звертання
Формулювання балансів потужності.: У загальному випадку баланс потужності i- го енергоузла ЕЕС формулюється:  Формулювання балансів потужності.: У загальному випадку баланс потужності i- го енергоузла ЕЕС формулюється для періоду суміщеного максимума навантаження системи відповідно до умови (1), т. е. по кожному енергоузлу ЕЕС (i) власна потреба (W0 і видача в сусідні енергоузли

© 2018-2022  epr.pp.ua