На головну сторінку   Всі книги

з 3d. Об зв'язок вартостей опционовЕвропейского і Американський тип

1. Раніше зазначалося, що на практиці опціони Американського типу зустрічаються значно частіше, ніж опціони Європейського типу. Однак, якщо для останніх є такі чудові результати, як, скажемо, формула Блжа і Шоулса, то розрахунки для опціонів Американського типу в задачах з кінцевим тимчасовим горизонтом наштовхуються на великі аналітичні труднощі, що, зрештою, пов'язано зі складностями рішення відповідних задач Стефана.

З формул (1) і (2) в з За ясно, що ціна (Т, х) > V(Т, х), що, звісно, цілком природно, оскільки за умовами контракту опціони Американського типу представляють можливість не просто чекати (термінального) моменту виконання, але і вибирати цей момент.

У справжньому параграфі приводяться деякі результати відносно зв'язку пен для стандартних опціонів покупця і продавця, для яких платіжні функції мають вигляд д (х) = (х - До)+ і д (х) = (До - х)+ відповідно.

Будемо передбачати, що А = 0. Тим самим, формули (1) і (2) із з3а приймають наступний вигляд:

V(Т, х) = Exe-rTg(ST) (1)

V*(Т, х)= sup Ехе~rTg(ST), (2)

теж?

де ж = So2.

Зовсім просто вирішується питання про співвідношення вартостей (пен) V(Т, х) і V* (Т, х) у випадку д (х) - (х - До)+, т. е. для опціону покупця. У цьому випадку

V(Т, х)=V*(Т, х), (3)

і в класі Шд оптимальним є момент Ту = Т (див. з Зс).

Зауваження. Підкреслимо, що якщо Л > 0, то результат (3) вже не має місця, і це викликане тим, що процес (St - K)+)t^про при Л > Про вже не буде субмартингалом (ср. із з3с).

Перейдемо тепер до питання про величину "дефекту"

А?(X)=V*(Т, х)-V(Т, X) (4)

для стандартного опціону продавця (д (х) = (До - ж)+), вважаючи Л = 0 і означаючи ж* = х*(t), 0Теорема. У разі стандартного опціону продавця "дефект"

ГТ

До*(ж) = гКЕх / е~rul(uJ об

Слідство 1. Нехай Рт і Ру - раціональні вартості опціонів продавця Європейського і Американського типів (Ру = V(Т, So), Ру = V*(Т, SQ)), Тоді

ГТ

Р*, = Ру + rKESo / е~rul(u= Ке~гТФ (-у_) - 50Ф (-у+)

+ rK F e (-y_(u, х*{u)))du, (6)

Jo

де (ср. з позначеннями в з lb)

у± 73т

і

і go, (2\

У_ (і, х* (U)) = L2_. (7)

Доказ. Нехай

Y(t, х) = Et, xe-r((ST) (8)

і

Y*(t, х) = sup Еt, xe-r^'^g(ST), (9)

remj

де д (х) = (До - х)+. Тоді для

А f(х)=Y*(t, х)-Y(t, х) (10)

знаходимо, що

е~rtAj(х) = Et, х{е~r^g{STr) - e-rTg(ST)}, (11)

де rtT - оптимальний момент зупинки в задачі (9).

По формулі Іто (з 5с, гл. III)

d(е~ru{K - Su)+) = е~ru d(K - Su)+ - re~ru(K - Su)+du, (12)

і по формулі Ито-Мейера для опуклих функцій (див. з4а, гл. VII; [395; гл. IV]; ср. також з формулою Танака (17) в з5с, гл. III)

d{K - Su)+ = - I(Uгде

LU{K) = lim Г l(\St - K\^E) dt (14)

eJ-O ІЄ J про

- локальний час на [0, u], що проводиться процесом S = (St)t^про на рівнів.)(

З (11)-(13) знаходимо, що

гТ

е~гТ

А?(х) = - Et, х J^ d(е~ru(K - Su)+)

¦t rT

= -EtlX / е~ru{-I(- r(K - SU)I{SU= ЕГ е~™{-dLu(K) +I(Su du + aSu dWu + (rK - rSu) du]}

Гт

= Et, х J ^е~ru{rKI(ложим для t ^ Т

Т

At = Г' е~ru{rKI(Jro

Тоді, оскільки r^f - Т, з (15) отримуємо, що

е~rt&?(х) = Е t, х[AT-At]. (17)

Представимо тепер At у вигляді

At = А] + A2t,

де

т

А\ = Г е~rul(

At = Г* е~rul(Su > х*(u)){rKI{SuJtO

Оскільки х* (і) тТ

А}= f ' е~rvl(u= г До f е~rul(uJo

Процес. А1 = (Aj)t.g;е~rtAf(х) = ЕttX[Т - At) = Еt, х[\ - Aft Гт

= rKEt, xJ е~rul(Suи, отже, для Д^(а;) має місце формула (5).

Нарешті, формула (6) з слідства 1 витікає з (5) і формули (18) в з lb для Рт-Теорема

і слідство 1 доведені.

Слідство 2. Функції Y*(t, х) ux*(t) пов'язані співвідношенням

Y*(t, х*(t))=K-x*{t), (20)

яке можна розглядати як інтегральне співвідношення для визначення прикордонної функції х* = х*(t), t ^ Т, з х* (Т) = ^lim х*(t).

Потрібно при цьому підкреслити, що, насправді, функція Y* (t, х) також невідома. У реальній практиці для цієї функції використовують наближення Уд (t, х), що розраховуються методом індукції назад (див. п. 1 в зЗЬ). Замінюючи тоді в (19) функцію Y*(t, х) на Y?(t, х), отримуємо функцію Хд = Хд (t), t Таємничий покупець: Один з підходів до навчання маркетинговому дослідженню передбачає:  Таємничий покупець: Один з підходів до навчання маркетинговому дослідженню передбачає участь студентів в спостережливій прикладній діяльності дослідження типу таємничий покупець. Це - техніка, що часто використовується професіоналами маркетингу, щоб зібрати
Таблиця 1.1 - Тактика огляду місця випадку: ПІДГОТОВЧИЙ ЕТАП РОБОЧИЙ ЕТАП ЗАКЛЮЧНИЙ ЕТАП Стадія до:  Таблиця 1.1 - Тактика огляду місця випадку: ПІДГОТОВЧИЙ ЕТАП РОБОЧИЙ ЕТАП ЗАКЛЮЧНИЙ ЕТАП Стадія до виїзду на місце випадку Стадія після прибуття на місце випадку Загальна стадія (статична) Детальна стадія (динамічна) 1. Отримати як можна більш точні і повні відомості про
Таблиця «Витрати на науково-дослідні, дослідно-конструкторські:  Таблиця «Витрати на науково-дослідні, дослідно-конструкторські і технологічні роботи».: Витрати організації на НИОКР, результати яких використовуються для виробничих або управлінських потреб організації, враховуються на рахунку 04 «Нематеріальні активи» відособлено від НА, які є такими у відповідності з ПБУ 14/2000. Так
Таблиця 1. Основні елементи національної і світовий валютних систе:  Таблиця 1. Основні елементи національної і світовий валютних систе: Національна валютна система Світова валютна система Національна валюта Резервні валюти, міжнародні рахункові валютні одиниці Умови конвертованості національної валюти Умови взаємної конвертованості валют Паритет національної валюти
Таблиця «Фінансові вкладення».: У відповідності з п. 41 ПБУ 19/02 «Облік фінансових вкладень» в:  Таблиця «Фінансові вкладення».: У відповідності з п. 41 ПБУ 19/02 «Облік фінансових вкладень» в бухгалтерській звітності фінансові вкладення, в залежності від терміну звертання (погашення), повинні поділятися на короткострокові і довгострокові. Згідно п.19 ПБУ 4/99 активи і
46. Таблична-автоматизована форма обліку: Останнім часом все більшу поширеність отримує:  46. Таблична-автоматизована форма обліку: Останнім часом все більшу поширеність отримує автоматизована форма бухгалтерського обліку. Такій формі властива послідовність обробки інформації: машинний носій інформації - ЕОМ. Організації активно оснащуються
СИРОВИНА І МАТЕРІАЛИ: стаття собівартості, в якій відбиваються вартість основних:  СИРОВИНА І МАТЕРІАЛИ: стаття собівартості, в якій відбиваються вартість основних матеріалів і сировини, що є складовою частиною виробу, а також вартість допоміжних матеріалів, що використовуються в процесі виготовлення виробу. Вартісна оцінка здійснюється по