На головну сторінку   Всі книги

Теорема Декарта

Число позитивного коріння многочлена f (х), що зараховується стільки разів, яка кратність кожного кореня, дорівнює числу змін знаків в системі коефіцієнтів цього многочлена (рівні нулю коефіцієнти не враховуються) або менше цього числа на парне число.

Для визначення числа негативного коріння многочлена досить, очевидно, застосувати теорему Декарта до многочлена f (-х).

При цьому, якщо жоден з коефіцієнтів многочлена не рівний нулю, то змінам

знаків в системі коефіцієнтів многочлена f (-х) відповідають збереження знаків в системі коефіцієнтів многочлена f (х). Таким чином, якщо многочлен f (х) не має рівних нулю коефіцієнтів, то число його негативного коріння (що вважаються з їх кратностями) дорівнює числу сохранений знаків в системі коефіцієнтів або менше його на парне число.

Застосуємо теорему Декарта до многочлена (, що розглядається 2.20) у випадку, коли величини всіх чинників і їх приростів позитивні.

Система коефіцієнтів даного многочлена:

{n¦А, 0;(n -1)-1!;...;2 n - 2;- (10 + М +... + 1 n - 2Ж тобто число змін знаків в його системі коефіцієнтів дорівнює 1, оскільки всі коефіцієнти, крім останнього, є позитивними для окремого випадку, що розглядається:

m

Cn m

10 = 1 > 0, 1 m =? П- > 0, m = 1,..., n - 2, k = 1,..., n.

i=1 j=1Axk

Отже, даний многочлен має лише один позитивний корінь. З іншого боку, теорема про середнє затверджує обов'язковість існування проміжних значень xi + aAx;- є (xi; xi + Ax), тобто повинно існувати принаймні одне значення параметра а є (0;1).

Оскільки (2.20) має єдиний позитивний корінь, то він і знаходиться в інтервалі (0;1).

Таким чином, у випадку, якщо всі чинники і їх прирости позитивні, то метод Лагранжа дозволяє знайти для мультипликативной моделі єдине вираження для точного представлення приросту результуючого показника як функції від приростів чинників, а, отже, метод пропонує однозначне рішення основної задачі економічного факторного аналізу.

Якщо значення чинників і їх приростів не є позитивними, то допускаються різні варіанти розкладання приросту результуючого показника. Результати факторного аналізу і їх інтерпретація на прикладі конкретних даних будуть розглянуті більш детально в наступному розділі.

Серед кратних моделей можна виділити декілька основних типів. Проведемо дослідження по кожному з них на прикладі найпростіших функцій.

1). Функція вигляду

f = ^. у

Приріст результуючого показника записується у вигляді

Af = = Ax + Ay,

х ^А х х

у + Ay у

а з використанням теореми про середнє:

Af Ax (х + aAx) ¦Ay (у + aAy) ^ (х + aAx) А

у + aAy (у + aAy)2 (у + aAy)2 (у + aAy)2 ' Прирівнюючи два вираження для представлення приросту функції, знаходимо шукане значення параметра:

а = V у(у + АУ) - у

Ay '

2). Функція вигляду

f х

у + z

Приріст результуючого показника записується у вигляді

Af =; ; = Ax + Ay + Az

х + Ax х

у + Ay + z + Az у + z а по теоремі об середню

Ax (х + aAx) ¦Ay (х + aAx) ¦ Az

Af =

(У + aAy + z + aAz) (у + aAy + z + aAz)2 (у + aAy + z + aAz)'

де

а = У (У + Z) ¦ (Y + AY + Z + AZ) - (Y + Z)

(AY + AZ) '

3). Функція вигляду

f = ^.

z

Af = Ax + Ay + Az;

Приріст результуючого показника записується у вигляді х + Ax + у + Ay х + у z + А z z

по теоремі Лагранжа:

Af = Ax Ay - (х + aAx) + (у + aAy) ^ Az

(z + aAz) (z + aAz) (z + aAz)2 '

Dz х I у

В цьому випадку

а

д/z(z + Dz) - z

4). Функція

f =

z + р

Приріст результуючого показника записується у вигляді

х I Dx I у + Dy х I у

Ax + Ay + Az + Ap;

Df

z + D z I р I Dp z I р відповідно до методу Лагранжа:

1

Df

Dy

- D х +

(z + aDz + р + aDp) (х + aDx) + (у + aDy)

(z + aDz + р + aDp)

- - (х + aDx) +(у + aDy) - Dp

2

де

(z + aDz + р + aDp) (z + aDz + р + aDp)

д/(z + р) - (z + Dz + р + Dp) - (z + р)

а =

(Dz I Dp)

Таким чином, застосування теореми Лагранжа для кратних моделей факторних систем вигляду

n

х

I

у=

i=1

так

х

J

I

j=n+1

також дозволяє знайти точне розкладання приросту результуючого показника:

I (х J+aDx J)

j = n +1

так

xi(j? n)-

А

Dy -I Axi i=1

D xi

n

так

так

так

m

I(х J + aAx J) j = n +1

2

n

Ax j -1 (xj + aAxj) J i=1 1 j

х

j

j=n+1 j=n+1

j

I xj - I(х j +Dxj) - I

Axj(1a=

j=n+1

Якщо знаходити параметр а не потрібно, то вираження для розрахунку елементів структури факторной системи можуть бути отримані шляхом інтегрування найпростіших виразів на відрізку 0В цьому випадку, для двухфакторной мультипликативной моделі f = х - у досягається той же результат, що і при використанні диференціальної теореми Лагранжа:

1 1 Df = J (у + aDy)( Ax)da + J (х + aAx)( Dy)da = 0 0 Ґ 12 а

+ DyAx - 02 1 ^ Ґ 12 а

+ DyAx - 02 1 ^ yAxa

V 0 0 + xDya

V 0 0 1

Ax +

1 DЛ

0

у+- Dy 2 0

Dy = ycp Dx + xcp Dy = Ax + Ay -

х +-Ax v 2

Для мультипликативной моделі загального вигляду в цьому випадку можна отримати наступний результат:

n n n Ґ і л

Ay = Z Ax,, Ax, = П^1 ^n - k

l=1

i=1

k=1

Cn-1 m

xh

10 = 1, 1m = ZП akj, m = 1,..., n -1, akj = D^, h = 1,...,i -1, i +1,..., n.

k=1 j=1 Dxh

Використовуємо отримані формули на прикладі пятифакторной мультипликативной моделі:

f = х - у - z - р - q, Af = Ax + Ay + Az + Ap + Aq,

Ґ х 1 х 1 х 1 х 1 х ^

Ax = Ax - Dy - Az -Dp - Dq -

Хл I Xo II Xi I Xn.,

V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

q

Xx0 = 1, X1 = ay + а z + а р + aq,

X 2 ay az I ay I у I z + z I,

X3 = ay -az-ap + ay-az-aq

+ ay - ap - aq + az - ap - aq,

=ay az ap aq

у 1 у 1 у 1 у 1 у

xy +- - xy +- - Ху + - - X1 + - - Ху

V 423324150 0

Ay = Dx Dy Dz Dp Dq

Xy0 = 1, X1 = ax + az + ap + " q

а

1$ = ax -az + ax-ap + &х -aq + az-ap + az -a4 + ap -a",

1'3 = а х - az - ap + ax - az - aq + ax - ap - aq + az - ap - aq, 4 =ax ' az ' ap ' aq

1 z 1 1 z 1 z

Az = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

1л + 1o I 1o I 1 I 1л

V 4233 415 0

1'0 = 1, = &X + Qy + Qp + Qq,

12 ' х Qy I х ^р I Qq I ' у ^р I ' у + ^р ^q,

13 = ax - ay - ap + ax -

ay - aq + ax - ap - aq + ay - ap - aq, 14 ax - ay - ap - aq

Ap = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

+1 -1p +1 -1p +1 -1p +1 -1p л

V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

1p = 1, 11 = ax + Qy + az + Qq,

1p = ax - ay + ax - az + &х - &q + - az + - &q + az - aq,

1pp = ax - ay - az + ax - ay - aq + ax - az - aq + ay - az - aq, 14 =ax ' ay ' az ' aq;

Aq = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

ґ 1 1 1 1 л 1q4 +1-1q + і-1q2 +1-11 + і-1q V 4 2 3 3 2 4 1 5 0

1q0 = 1, 1q = ax + Qy + az + Qp,

1q2 = ax-ay + ax-az + Qx-Qp + a, -a, + ay-&р + az-ap, 13 - х - у - а z I х - у - р + х - а z * р + у " а z - р, 14 -x * Q' у * а z * р

у

zp

Dz' &р =DP ' &q

Dy

Dp ' * Dq'

Приріст узагальнюючого показника у разі кратних моделей також можна представити з використанням альтернативних формул, що отримуються після інтегрування у відповідності з (2.12):

так

D xi

n

ln

так

ID xj

j - n + 1

Dy = I Axi, Axi ( D х j)

"j=nI1

n

Dy -I Axt

г

Axj (1IDxj

j=nI1

Отримані для основних типів факторних систем формули для розрахунку величин факторного впливу по методу Лагранжа представлені в табл. 2.4.

Зведені результати по виведенню для представлення розкладання приросту результуючого показника з використанням інтегральної форми теореми Лагранжа представлені в табл. 2.5.

Для спрощення і підвищення ефективності застосування методу Ла- гранжа у разі нестандартних моделей факторних систем можна рекомендувати використати в розрахунках спеціалізовані математичні пакети [20]. Допоміжні програмні продукти значно спрощують диференціювання і інтегрування при розкладанні приросту результуючого показника по становлячих величинах факторного впливу, дозволяють точно знаходити рішення рівнянь при обчисленні параметра а і можуть бути використані при рішенні інших обчислювальних задач, виникаючих в процесі аналізу. 4. Теоретичні основи марксизму: У XIX в. К. Маркс (1818-1883) і Ф. Енгельс (1820-1895) створили:  4. Теоретичні основи марксизму: У XIX в. К. Маркс (1818-1883) і Ф. Енгельс (1820-1895) створили систему економічних поглядів, що отримали узагальнену назву марксизм. Вони збагатили науку соціальним аналізом економічних відносин, досліджували закони руху капіталістичного
Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави:  Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави: Кредитногрошовий політика - це сукупність державних заходів в області грошового обігу і кредиту, направлена на забезпечення стійкого, ефективного функціонування економіки, підтримку в належному стані грошової системи.
Теоретичні основи інтеграції в бізнес-групи: Традиційні об'єкти дослідження інституційної теорії -:  Теоретичні основи інтеграції в бізнес-групи: Традиційні об'єкти дослідження інституційної теорії - інститут ринку, фірма. Однак в сучасній економіці все зростаючу роль грають такі взаємовідносини між економічними суб'єктами, які не зводяться ні до звичайним ринковим
2. Теоретичні і організаційні питання планированияналогових:  2. Теоретичні і організаційні питання планированияналогових доходів: У цей час питання, присвячені суті податкового планування і прогнозування, все більше стають об'єктом пильного вивчення і широких дискусій. Необхідно визначити дві тенденції відносно сприйняття суті податкового
2.1 Теоретичні концепції, що пояснюють прямі зарубежниеинвестиції.:  2.1 Теоретичні концепції, що пояснюють прямі зарубежниеинвестиції.: Причини експорту і імпорту прямих зарубіжних інвестицій вельми різноманітні. Головні - прагнення розмістити капітал в тій країні і в тій галузі, де він буде приносити максимальний прибуток, скоротити рівень оподаткування і диверсифицировать
Теоретична і практична значущість дослідження:  Теоретична і практична значущість дослідження: Сформульовані в диссертационном дослідженні висновки і пропозиції можуть бути використані з метою вдосконалення законодавства про відповідальність за порушення банківського законодавства, в правоприменительной практиці Банку Росії і
Теоретична дисперсія вибіркового середнього: Якщо дві змінні незалежні (отже, їх сукупна:  Теоретична дисперсія вибіркового середнього: Якщо дві змінні незалежні (і отже, їх сукупна ковариация дорівнює нулю), то теоретична дисперсія суми цих змінних буде рівна сумі їх теоретичних дисперсій: pop. var (х + у) = pop. var (х) +