На головну сторінку   Всі книги

Теорема про інвестування в два фоида

Ця теорема затверджує, що якщо інвестори цікавляться тільки очікуваною прибутковістю і стандартним відхиленням свого портфеля, то кожний инвестор-оптимизатор буде комплектувати портфель тільки з "дотичного" (оптимального) портфеля З і безризикового активу.

Підтвердимо попереднє графічне обгрунтування математичним доказом. Щоб не втомлювати читача матричними позначеннями в багатомірному випадку, запропонуємо йому покомпонентную запис на прикладі трехвидового портфеля. Для більшого спрощення задачі обмежимося некоррелированними активами і невідомими Хо, хь х2 довільного знака. Незважаючи на цю частковість, нашого розгляду цілком досить, щоб зрозуміти, як доводиться теорема в загальному випадку.

При і = 3 і V¦2 = 0 з. загальному запису (57) отримаємо наступну модель сформульованої задачі:

min(о, 2xf + а\х\/r(lx" + т, х, + т2х2 = тр, х0 + х, + х2 -1). (58)

Для її рішення скористаємося методом множників Лагранжа і введемо функцію Лагранжа:

L(х, \) = aj X¦2 + л.)(¦(п1р- гплп - rrnxi - niixi) + Хл ( - xn- xj - \~л

Тогда рішення поставленої задачі повинно задовольняти співвідношенням:)(

м д;)(

- lib.)( « про.)( = 0.i==0- 1.2 i = 1,2, що приводить до системи упаимений:)(

[- г0Х, - Х2 = Об

I 2о¦2Х¦ - Ш¦Х¦ - = Об

1 2О22Х2 - 1112^1 - = 0

I г0х0+ Ш¦Х¦ + т2х2 = тр

V - ' 0;)(«-¦? ущ2 - (59)

х, = -2, л2 - = -

1 Хо + Х¦ + X2 =1

З перших трьох рівнянь, замінюючи Х.2 = - Го?)( ч, знайдемо:)(

/" - \i - '«;)( Л

2о, 2 2 а

Виключаючи з четвертого і п'ятого рівнянь змінну хо, прийдемо до соот н ош е н і ю:)(

(Ш¦ - г0) Х¦ + (т2 - г0) х2 = тр - г0.)( (60)

Підставляючи (59) в (60), отримаємо рівняння для (ш, - г")2Х, (т2 - г")2Х,

Підставляючи знайдені оптимальні значення х,, х, в критерій задачі (58), визначимо мінімум дисперсії портфеля при заданому тр:)(

(тр ~ го)"'

про"

!)( 7 !)( Т!)( - Г ^ /т _ г \

О,

Из цього співвідношення з урахуванням позначення з слідує линейность рівняння ефективної траєкторії моделі (58):)(

о'р - Ь (тр-ги).)(

Нехай тр* - очікувана ефективність ризикового портфеля з пропорціями (61).)( Очевидно, що цей портфель виходить як рішення задачі

про

(58) при тр = тр*, у якого х» - 0, і він зобов'язаний лежати на прямій (62).)( Вважаючи в (58) х0 = 0, прийдемо до "укороченої" оптимизационной задачі (53) (тр = тр*, Г¦2 = 0) з тим же оптимальним рішенням, але вже на ефективній траєкторії "а" (мал. 35).)(

Таким чином, точка на прямий (62), відповідна хо = 0, повинна лежати на кривий ор*(тр*) (крива "а" на мал. 35), тобто

об

Ор (Шр) - 0*р (ш*р).)( В) той же час при всіх Шр * шр* мінімум ризику для

Iзадачи (58) буде менше, ніж у задачі (53) ар (тР) На закінчення декілька слів про портфельні задачі довільної розмірності. Як і в розглянутих окремих випадках, якщо обмеження на знак відсутні, ці задачі допускають явне рішення і його можна знайти методом множників Лагранжа.

Не приводячи відповідних доказів, дамо формули отриманого Д. Тобіним рішення розширеної задачі (57). Нехай V - матриця ковариаций ризикових видів цінних паперів, X = (х,), М = (ш;) - вік- тора-стовпці часткою капіталу, ризикових паперів, що вкладаються в 1-й вигляд і очікуваної ефективності цього вигляду, \ = 1,. .., п. Нехай та^ж I - п-мірний вектор-стовпець, компоненти якого рівні I. Тогда оптимальне значення часткою X; є

Х- т"'Г" у-ЧМ-гЛ)- («)

Тут V-' - матриця, зворотна до V, Т - знак транспонування, і тому (М - г01) т - вектор-рядок. У чисельнику дробу стоїть число, в знаменнику, якщо виконати всі дії, також вийде число. Сопос- об

таапяя компоненти вектора х, неважко пересвідчитися, що оптимальні пропорції ризикових вкладень не залежать ВІД Шр. У те ж брешемо° сума цих компонент пропорціонально збільшується із зростанням шр, і

тому "безризикова" частина; :V-'(M-r0I).

V(M-rflI)TV-4M-rn0

На цю формулу можна дивитися як на запис оптимального рішення портфельної задачі по критерію максимума ефекту і з обмеженням на ризик:

roXo + ymjXj/VYVyXiXj -ap, x0 +YXj -l¦.

(64)

шах

pi иб ft ) ЯJ

В цьому можна пересвідчитися, вирішивши задачу про портфель максимальної ефективності (64) методом множників Лагранжа, однак подібна відповідність цілком передбачувана і пояснюється взаємністю задач (57), (64).

При додаванні обмежень на неотрицательность невідомих аналіз ускладнюється і аналітичні рішення поступаються місцем алгоритмам квадратичного програмування.

У цьому випадку Уявлення про властивості рішення можна отримати за допомогою узагальненого методу Лагранжа, вводячи додаткові множники р = (т,. .., р,,) по кожній нерівності а 0, і з посиланням на теорему Куна-Таккера. Опускаючи докладний аналіз, заснований на умовах доповнюючої нежорсткості, обмежимося тут коротким описом якісних особливостей ефективного портфеля:

із збільшенням необхідної очікуваної ефективності внески в кожний цінний папір міняються лінійно, якщо можливий short-sale, або кусочно-лінійно, якщо такі операції заборонені. Деякі внески зростають (це відноситься до більш ефективних, але і більш ризиковим цінним паперам), деякі меншають (менш ефективні і менш ризикові цінні папери);

міра ризику ефективного портфеля зростає із зростанням необхідної очікуваної ефективності, причому однаковим послідовним приростом цієї міри відповідають все менииие і менші прирости ефективності.

Відповідні цим висновкам графічні ілюстрації можна отримати, спираючись на окремі випадки ефективних портфелів, розглянутих вище; для ризикового портфеля з трьох активів підтверджуючі діаграми є в роботі Первозванських (див. список літератури).

Вибір портфеля при можливості безризикового запозичення і кредитування

В задачі про такий портфель змінна Хо може бути будь-якого знака. Маючи можливість отримання і надання позик по безризиковій ставці г0, інвестор вибере оптимальний портфель, знайшовши точку дотику своєї кривої байдужості з лінійною ефективною безліччю. На мал. 42 зображені два можливих варіанти: для обережного інвестора А і для інвестора В з більш легковажним відношенням до ризику.

Рис. 42. Вплив безризикового запозичення і кредитування на вибір портфеля

Тут А і В - точки дотику кривих байдужості першої і другої учасників до лінії ефективних портфелів з двох компонент: безризикової по ставці го і оптимального портфеля С. Консерватівний інвестор А орієнтується на помірну прибутковість тА0).

Його більш легковажний колега В сподівається на високу прибутковість тв > тс і не дуже стурбований можливими розходженнями від середньої оцінки. У зв'язку з цим він діє право за точку З в області негативних значень х0. У цьому положенні відбивається ситуація, коли В займає гроші під безризиковий відсоток го (йде в коротку позицію по грошах), але вкладає їх все одно в деякій пропорції, яка відповідає точці Розглянемо тепер, що станеться, якщо передбачити, що інвестор може взяти в борг, але по ставці, що перевищує прибутковість від інвестування в безризиковий актив. Визначимо ці ставки через г^ц і Гц^, причому г^ ^ гр^.

Один з способів оцінки впливу зробленого припущення на ефективну безліч полягає в наступному. Почнемо з того, що оцінимо, як буде виглядати ефективна безліч, якщо отримання і надання позики можливі по одній і тій же ставці Гоі_- Результуюча ефективна безліч є прямою лінією, що проходить через точки г0ь і Сі. (мал. 43а). I

Розглянемо, що станеться, якщо величину ставки підняти до гов > але залишити однією і тією ж як для отримання, так і для надання позики. Результуючою ефективною безліччю буде пряма лінія, що проходить через точки гов і Сц (мал. 43а). Помітимо, що портфель Сц розташований вище за портфель Сі_ на ефективній траєкторії Марковіца, оскільки він є точкою дотику для прямій, відповідній більшій безризиковій ставці.

а) оцінка різних 6) ефективна траєкторія

безризикових ставок при нерівних беерискових ставках

Рис. 43. Облік відмінності ставок запозичення і кредитування

Оскільки інвестор не може зайняти по ставці те частина лінії, що виходить з гоь яка продовжується право З^, недоступна для інвестора і тому далі не розглядається.

Аналогічно, оскільки інвестор не може надати позику по ставці гов, то частина лінії, що виходить з г0в, яка розташовується левее Св, не годиться інвестору і тому далі також не розглядається.

Південно-східна межа безлічі портфелів, що залишилися в розгляді, показаної на мал. 436, є результуючою ефективною безліччю. Воно складається з трьох різних, але сполучених між собою частин:

першою частиною є прямою відрізок, що з'єднує Г ()1_ і З]_, який являє собою комбінації різних об'ємів безризикового кредитування в поєднанні з інвестуванням в портфель ризикованих активів З^

другою частиною є дільниця кривої з ефективної безлічі Марковіца, що з'єднує точки З^ і Св;

третьою частиною є прямою промінь, що виходить з точки Св, який представляє різні комбінації запозичення в поєднанні з інвестуванням в ризикований портфель Св-Оптимальним

портфелем для інвестора, як і раніше, буде портфель, який відповідає точці дотику кривої байдужості інвестора з ефективною безліччю. У залежності від вигляду кривих байдужості точка дотику може виявитися на будь-якому з трьох сегментів, що становлять ефективну безліч. 1. Теоретичні основи і передумови соціального партнерства:  1. Теоретичні основи і передумови соціального партнерства: Проблеми соціального партнерства звичайно розглядаються виходячи з післявоєнного досвіду країн Західної Європи, особливо ФРН. Однак основні ідеї узгодження інтересів капіталістів або робітників були сформовані значно раніше. Щоб зрозуміти
5.3. Теоретичні основи податкової політики держави:  5.3. Теоретичні основи податкової політики держави: Податкова політика держави засновується на наукових концепціях, що отримали теоретичне визнання і практичне застосування. Ці концепції детально розглядалися раніше в розділі 2: класична, кейнсианская, неокласична,
Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави:  Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави: Кредитногрошовий політика - це сукупність державних заходів в області грошового обігу і кредиту, направлена на забезпечення стійкого, ефективного функціонування економіки, підтримку в належному стані грошової системи.
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ДЕРЖАВНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ГРОШОВОГО:  ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ДЕРЖАВНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ГРОШОВОГО ОБІГУ: Зі часу становлення капіталістичною ринкової економіки і по мірі її розвитку держава в тій або інакшій мірі втручалася в економічне життя суспільства. Однак до початку XX віку державне регулювання економічних процесів
3. ТЕОРЕТИЧНІ МОДЕЛІ ПОПИТУ НА ГРОШІ: Попит на гроші і кількісна теорія Сучасне трактування:  3. ТЕОРЕТИЧНІ МОДЕЛІ ПОПИТУ НА ГРОШІ: Попит на гроші і кількісна теорія Сучасне трактування кількісної теорії заснована на понятті швидкості обігу грошей в русі доходів, яка визначається як: Ріс.70. Крива попиту на гроші де: V-швидкість обігу грошей; Р -
4.1. Теоретичні аспекти дослідження господарського механізму:  4.1. Теоретичні аспекти дослідження господарського механізму: Важливу роль в забезпеченні сбалансированности економічних і інституційних інтересів різних суб'єктів господарських відносин і тим самим в функціонуванні економіки як системи грає господарський механізм. Поняття господарського
Теоретична і методологічна основа: Теоретичною і методологічною основою дослідження є:  Теоретична і методологічна основа: Теоретичною і методологічною основою дослідження є положення, сформульовані в трудах вітчизняних і зарубіжних вчених, присвячених науковим і прикладним проблемам розвитку світової економіки і міжнародних економічних відносин, в