На головну сторінку   Всі книги

Теорема Лагранжа (теорема про середнє диференціального числення)

Нехай функція f (х) безперервна на відрізку [a;][b] і диференціюється у внутрішніх точках цього відрізка. Тоді всередині відрізка [a;][b] існує

принаймні одна точка з, така, що для неї виконується рівність f (b) - f (a) = f' (з)(b - a).

Доказ. Введемо нову функцію

(f (b) - f (a))¦ (х - a)

g(х) = f (х) - f (a) -

b-a

Ця функція задовольняє умовам теореми Ролля: вона безперервна на [a; b], оскільки являє собою різницю між безперервною функцією f (х) і лінійною функцією; вона має певну кінцеву похідну на (a; b), рівну

g' (х)=f'(х) - т-же.

b-a

Нарешті безпосередньою підстановкою переконуємося в тому, що g(a) = g(b) = про.

Отже, знайдеться точка з є (a; b), така, що

g'(з) = f '(з) - /МО = об

b-a,

\ f (b) - f (a)

Звідси j (з) = - -, що і було потрібен довести.?

b-a

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа приведена на мал. 2.3. Помітимо, що (f (b) - f (a))/(b - a) є кутовим коефіцієнтом січної, що проходить через точки А(a, f(a)), В(b, f(b)) кривій у = f(х), а f (з) є кутовий коефіцієнт дотичної до тієї ж кривої, що проходить через точку З (з, f (з)).

З теореми Лагранжа слідує, що на кривій у = f (х) між точками А і В знайдеться така точка З, дотична в якій паралельна січної AB.

Доведена формула f (b) - f (a) = f'(з)(b - a) носить назву формули Лагранжа або формули кінцевих приростів. Вона очевидно вірна і для випадку а > b.

Диференціальна теорема Лагранжа про середнє значення, записана для функції багатьох змінних у = f (Х1, X2,.., Xn), дозволяє перейти до формули

n

Dy = Z fx (cUc2,- > cn)Dxi i=1

Рис.

2.3. Графічна інтерпретація теореми Лагранжа

Оскільки

Ci = Xi + aDxi є (Xi; Xi + Dxi), а є (0;1), те формулу (2.9) можна переписати у вигляді

n

Dy = Z fX ¦ (Xl + aDxi, х 2 + а Dx 2,..., xn + а Dxn) Dxi, (2.10) i=1

де 0Таким образом, теорема Лагранжа дозволяє отримувати точні формули для розрахунку впливу зміни чинників на зміну узагальнюючого показника у разі не малих, але кінцевих приростів. При цьому, значення параметра а дозволяє знайти проміжні значення чинників, при яких досягається точне розкладання приросту результуючого показника, що аналізується на величини факторного впливу.

На мал. 2.4 представлена графічна інтерпретація результату застосування теореми про проміжне значення у разі двухфакторной моделі.

Траєкторія переходу від початкової точки до кінцевої в цьому випадку являє собою прямолінійний орієнтований відрізок MоM1. При цьому точне розкладання приросту функції досягається в деякій

проміжній точці, через яку проходить дотична площина, побудована на дотичних прямих, що інтерпретують відповідні приватні похідні функції.

Рис. 2.4. Ілюстрація застосування теореми Лагранжа для визначення впливу чинників на результуючий показник

Якщо а знаходити не потрібно, то вираження для розкладання приросту результуючого показника можна отримати з використанням інтегральної форми теореми про середнє. Теоретичні основи обліку цінних паперів.: У бухгалтерському обліку цінні папери розглядаються як фінансові:  Теоретичні основи обліку цінних паперів.: У бухгалтерському обліку цінні папери розглядаються як фінансові інструменти, використання яких в процесі перерозподілу фінансових ресурсів між учасниками ринку приводить до одночасного виникнення (збільшенню) фінансових активів
Теоретичні основи системи забезпечення розвитку людини через:  Теоретичні основи системи забезпечення розвитку людини через надання соціальних послуг: Людський капітал - термін, вказуючий накопичені знання, уміння, навики і майстерність, якими володіє працівник і які придбаваються їм завдяки освіті, професійній підготовці, практичному досвіду. Концепція людського
Теоретичні основи виробництва перевірки свідчень на місці:  Теоретичні основи виробництва перевірки свідчень на місці: Процес побудови в Росії цивільним суспільством правової держави пов'язаний з подоланням серйозних труднощів, зумовлених цілим рядом суспільних, передусім економічних і політичних причин, а також і причин суб'єктивних - недоліком
4. Теоретичні основи марксизму: У XIX в. К. Маркс (1818-1883) і Ф. Енгельс (1820-1895) створили:  4. Теоретичні основи марксизму: У XIX в. К. Маркс (1818-1883) і Ф. Енгельс (1820-1895) створили систему економічних поглядів, що отримали узагальнену назву марксизм. Вони збагатили науку соціальним аналізом економічних відносин, досліджували закони руху капіталістичного
Теоретичні основи інтеграції в бізнес-групи: Традиційні об'єкти дослідження інституційної теорії -:  Теоретичні основи інтеграції в бізнес-групи: Традиційні об'єкти дослідження інституційної теорії - інститут ринку, фірма. Однак в сучасній економіці все зростаючу роль грають такі взаємовідносини між економічними суб'єктами, які не зводяться ні до звичайним ринковим
3. ТЕОРЕТИЧНІ МОДЕЛІ ПОПИТУ НА ГРОШІ: Попит на гроші і кількісна теорія Сучасне трактування:  3. ТЕОРЕТИЧНІ МОДЕЛІ ПОПИТУ НА ГРОШІ: Попит на гроші і кількісна теорія Сучасне трактування кількісної теорії заснована на понятті швидкості обігу грошей в русі доходів, яка визначається як: Ріс.70. Крива попиту на гроші де: V-швидкість обігу грошей; Р -
2) Теоретичне опрацювання власного дослідницького підходу.:  2) Теоретичне опрацювання власного дослідницького підходу.: У рамках даного розділу студент повинен пред'явити рішення поставлених ним в першій частині роботи задач. Приводячи рішення поставлених задач, студент повинен продемонструвати уміння: систематизувати і узагальнювати фактичний матеріал; самостійно