На головну сторінку   Всі книги

Теореми про межі функцій

У 3TO.it розділі ми укажемо основні властивості меж функції, сформульовані у вигляді теорем, докази яких опускаємо.

Теорема 4.1. Функція /(л) має в точці а межа тоді і тільки те] так, коли в цій точці існують лівий п правий пре цілі причому вони рівні.

У гаком випадку межа функції рівний одностороннім межам

Теорема 4.2. Нехай функції/ (д) нpound; (д) мають в точці а межі А і В. Тогда функції /(. с) ±р (. г), ((д) £ (V) і /(х)/, Ц (Г) (при В * 0) име- до;¦ в точці а межі, рівні, відповідно, /I ± В, АВ і А/В.

Помітимо, що теор

Часто обчислення межа він функцій знизано з нростими прийомами: розкладанням чисельника і знаменника на з (1м ножі гели, ділений ньому чисельника і знаменника на міру * п ч. д. Розглянемо це на прикладах.

Приклад І. Найті межа

Рішення. Неважко бачити, що безпосередня підстановка граничного значення г= 2 в дріб підлога знаком межі приподит до непп- ре течі пости вигляду -. Розкладемо квадратні трехчлени чисельника ] і

знаменника па співмножники н скоротимо общи б співмножник, після чого вже підставимо граничне значення л= 2:

Рішення. Поділимо чисельник і знаменник дробі під знаком межі иа г1 (зчо старша міра д), після чого скористаємося теоремою 4.2:

Пояснимо також розкриття невизначеності вигляду аз - го. Розглянемо характерний приклад.

Приклад 14. Знайти гсреде

Рішення. Тут потрібно помножити і розділити вираження під знаком межі на зв'язане вираження - в цьому випадку иа

4.2.4.

Дві чудових межі

В цьому розділі приводяться дві межі функції, які найбільш широко використовуються в математиці і її додатках. Докази відповідних теорем ми опускаємо.

Межа (4.6) називається першою чудовою межею. Ця межа застосовується при обчисленні ряду інших меж. Розглянемо декілька прикладів нею застосування.

Приклад 15. Знайти межу функції sin (сі) сл при лг- > 0.

Рішення.

Перетворюємо даний дріб так, щоб в знаменнику був аргумент синуса; тільки тоді можна буде застосувати першу чудову межу, оскільки при х - > 0 межею ах також є нуль. Отримуємо:

Рішення. Теорему 4.2 тут безпосередньо застосувати не можна, оскільки при лс - > 0 чисельник і знаменник дробу прагнуть до нуля. Для рішення задачі необхідно спочатку перетворити даний дріб, а потім вже виконати граничний перехід:

Число є є однією з фундаментальних величин в математиці. Показова функція вигляду ^ називається експонентою, логарифм з основою про називається натуральним і означається символом 1п. У тесрин імовірностей і математичній статистиці функція е' є основоположною.

4.2.5. Нескінченно малі і нескінченно великі функції

Визначення 5. Функція /(л) називає ця нескінченно милою функцією (або просто нескінченно малої) в точці х = а, якщо межа її в Цій

Аналогічно визначаються нескінченно малі функції прі

Теорема 4.5. Алгебраїчна сума і твір кінцевого числа нескінченно малих функцій в точці а, як і твір нескінченно малому і обмежений ним функції, є нескінченно малими (функціями в точці а.

Визначення 6. Функція /"(. г) називається нескінченно великою функцією і? точці а (або просто нескінченно великому), сіли для люооіі що сходиться до а послідовності (х") значенні арі розумний та відповідна тюс ледовит з л ь і остюк {[(х")} з і ач єн 11 і і функції являє гс і біс ДО IIСЧШ) бол ьши Й

АнаЛОГИЧНО визначаються нескінченно боли ЛИСИЦЬ функції при Л - > ос.

д- - > Г зі. І X - У - оа.

Між нескінченно малммн н нескінченно великими функціями існує той же зв'язок, що н між відповідними послідовностями. т. е якщо а (д) - нескінченно мала функція при г-хт, тп /(. г) - 1/а (х) - нескінченно велика функція, н навпаки

4.3.1. Теоретичні основи внутрішнього аудиту операцій з цінними паперами:  Теоретичні основи внутрішнього аудиту операцій з цінними паперами: У Російській Федерації і Україні вже сформувалася національна система аудиту, аналогічна країнам з ринковою економікою, покликана сприяти розвитку соціально-економічних відносин. Функціонування цієї системи охоплює
Теоретичні основи обліку цінних паперів.: У бухгалтерському обліку цінні папери розглядаються як фінансові:  Теоретичні основи обліку цінних паперів.: У бухгалтерському обліку цінні папери розглядаються як фінансові інструменти, використання яких в процесі перерозподілу фінансових ресурсів між учасниками ринку приводить до одночасного виникнення (збільшенню) фінансових активів
I. Теоретічеськиє основи розв'язання проблеми активності суду в:  I. Теоретічеськиє основи розв'язання проблеми активності суду в процесуальному пізнанні: Якщо в рамках принципу диспозитивності можна визначити співвідношення процесуальних прав зацікавлених осіб і активних повноважень суду в області впливу на рух цивільного процесу, то обгрунтувати ту або інакшу міру процесуальної активності
з 2. Теоретичні основи побудови типової комп'ютерної моделі:  з 2. Теоретичні основи побудови типової комп'ютерної моделі злочинів в сфері комп'ютерної інформації: У будь-якій області знання закономірним і необхідним є процес модифікації і трансформації основного поняття в модель відповідно до цілей і задач, які ставить перед собою конкретна наука. Моделювання є метод опосередкованого
30 Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави:  30 Теоретичні основи кредитногрошовий політики держави: Кредитногрошовий політика - це сукупність державних заходів в області грошового обігу і кредиту, направлена на забезпечення стійкого, ефективного функціонування економіки, підтримку в належному стані грошової системи.
2. Теоретичні і організаційні питання планированияналогових:  2. Теоретичні і організаційні питання планированияналогових доходів: У цей час питання, присвячені суті податкового планування і прогнозування, все більше стають об'єктом пильного вивчення і широких дискусій. Необхідно визначити дві тенденції відносно сприйняття суті податкового
ТЕОРЕТИЧНІ І ЕМПІРИЧНІ МЕТОДИ ЕКОНОМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ:  ТЕОРЕТИЧНІ І ЕМПІРИЧНІ МЕТОДИ ЕКОНОМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ: Ще одна найважливіша класифікація економічних методів - це розділення їх на емпіричні і теоретичні. Емпіричні методи економічного пізнання - це методи пізнання економічної реальності, діючі на рівні досвіду. Існують два