На головну сторінку   Всі книги

Теоретична дисперсія дискретної випадкової змінної

У цій книзі нас буде цікавити одна з функцій змінної х, її теоретична дисперсія, що є корисною мірою розкиду для вероятност- ного розподілу. Вона визначається як математичне очікування квадрата різниці між величиною х і її середнім, т.

е. величини (х - р)2, де р - математичне очікування х. Дисперсія звичайно означається як а2, і якщо ясна, про яку змінну йде мова, то нижній індекс може бути опущений. Ми іноді будемо означати дисперсію як pop. var (х):

о2х = pop.var(х) =? {(х - р)2} =

П

= X (*/- - V)2Pi = (*i - і)2 Pi + - - - ¦+ (*" - ц)2 Рп- (0.9)

i=l

З а2 можна отримати ах - теоретичне стандартне відхилення - так же поширену міру розкиду для розподілу імовірностей; стандартне відхилення випадкової змінної є квадратний корінь з її дисперсії.

Ми проілюструємо розрахунок дисперсії на прикладі з однією гральною кісткою. Оскільки р = Е (х) = 3,5, то (х - р)2 в цьому випадку дорівнює (х - 3,5)2. Ми розрахуємо математичне очікування величини (х-3,5)2, використовуючи схему, представлену в табл. 0.2. Додатковий стовпець (х - р) представляє певний етап розрахунку (х - р)2. Підсумовуючи останній стовпець в табл. 0.4, набудемо значення дисперсії а2, рівних 2,92. Отже, стандартне відхилення (а), дорівнює yj2,92, тобто 1,71.

Таблиця 0.4

х, Р, (*,- аlt;) (¦*¦,-А*)2 (х- і)2Р,

1 1/6 -2,5 6,25 1,042

2 1/6 -1,5 2,25 0,375

3 1/6 -0,5 0,25 0,042

4 1/6 0,5 0,25 0,042

5 1/6 1,5 2,25 0,375

6 1/6 2,5 6,25 1,042

Всього 2,92

Одним з важливих додатків правил розрахунку математичного очікування є формула розрахунку теоретичної дисперсії випадкової змінної, яка може бути записана як

о2= Е (х2) - р2. (0.10)

Це вираження іноді виявляється більш зручним, ніж первинне визначення.

Доказ дає хороший приклад використання згаданих правил, але при першому читанні ви можете, якщо хочете, його пропустити. По цьому визначенню,

о2 = Е {(JC - ц)2} = Е {(х2 -2 цх + ц2) =

= Е (х2) + Е (~2цх) + Е (д2), згідно з правилом I,

= Е (х2) - 2цЕ (х) + д2, згідно з правилами 2 і 3

і тому факту, що і ц2 - константи,

= Е (х2) - 2ц2 + ц2, оскільки величини Е (х)

і ц ідентичні,

= Е (х2) - ц2. (0.11)

Таким чином, якщо ви хочете обчислити теоретичну дисперсію для х, то можете розрахувати математичне очікування величини х2 і відняти з нього р2.

Вправа

0.6. Розрахуйте теоретичну дисперсію і стандартне відхилення величини х, визначеної, як у вправі 0.1, використавши визначення, задане рівнянням (0.9).

0.7. Використавши рівняння (0.10), знайдіть дисперсію випадкової змінної х, визначеної у вправі 0.1, і покажіть, що результат виходить тим же, що і у вправі 0.6. (Це займе зовсім небагато часу, тому що ви вже розрахували р у вправі 0.2 і Е {х2) у вправі 0.4.) Теоретичні положення: Пояснення і гіпотез відносно ефектів і спонукальних мотивів:  Теоретичні положення: Пояснення і гіпотези відносно ефектів і спонукальних мотивів субфедерального адміністративного регулювання містяться в положеннях теорії суспільного інтересу, в теорії захвата регулювання, економічної теорії державного
Теоретичні основи внутрішнього аудиту операцій з цінними паперами:  Теоретичні основи внутрішнього аудиту операцій з цінними паперами: У Російській Федерації і Україні вже сформувалася національна система аудиту, аналогічна країнам з ринковою економікою, покликана сприяти розвитку соціально-економічних відносин. Функціонування цієї системи охоплює
з 1.2. Теоретичні основи судово-балістичної ідентифікації:  з 1.2. Теоретичні основи судово-балістичної ідентифікації нарізної вогнепальної зброї по слідах на кулях: Серед криміналістичних теорій, що використовуються в судовій балістиці, центральне місце, безумовно, займають положення теорії криміналістичної ідентифікації. Безпосередньо до теоретичних положень концептуальних основ, що розглядаються можна
Теоретичні основи виробництва перевірки свідчень на місці:  Теоретичні основи виробництва перевірки свідчень на місці: Процес побудови в Росії цивільним суспільством правової держави пов'язаний з подоланням серйозних труднощів, зумовлених цілим рядом суспільних, передусім економічних і політичних причин, а також і причин суб'єктивних - недоліком
з 2. Теоретичні основи криміналістичної діагностики:  з 2. Теоретичні основи криміналістичної діагностики: Первинне поняття діагнозу зв'язувалося з медициною, з методом розпізнавання хвороби. По мірі розвитку науки і техніки, інтеграції знань і методів, їх перенесення з однієї області знання в іншу з'являються і реалізовуються поняття діагностики
Теоретичні основи грошової політики: новокейнсианский монетарний:  Теоретичні основи грошової політики: новокейнсианский монетарний режим: 30 Практичне проведення грошової політики в розвинених країнах спирається на глибокий теоретичний і емпіричний підмурівок. Сьогодні найбільш просуненим і ефективним монетарним режимом 31 виступає таргетирование інфляції, теоретичним базисом
2.1 Теоретичні концепції, що пояснюють прямі зарубежниеинвестиції.:  2.1 Теоретичні концепції, що пояснюють прямі зарубежниеинвестиції.: Причини експорту і імпорту прямих зарубіжних інвестицій вельми різноманітні. Головні - прагнення розмістити капітал в тій країні і в тій галузі, де він буде приносити максимальний прибуток, скоротити рівень оподаткування і диверсифицировать