На головну сторінку   Всі книги

Тестування стаціонарності

З усвідомленням небезпеки застосування ОМНК до нестаціонарних рядів, з'явилася необхідність в тестах, які дозволили б відрізнити стаціонарний процес від нестаціонарного.

До неформальних методів тестування стаціонарності можна віднести візуальний аналіз графіків спектральної густини і автокорреляционной функції.

У цей час самим популярним з формальних тестів є тест, розроблений Дикі і Фуллером (DF).

Базовий породжуючий дані процес (ПДП), який вони використали, - авторегрессионний процес першого порядку:

(A1)

yt = py t-1 + St.

При р= 1 це випадкове блукання. Звісно, навряд чи економічна змінна може бути описана процесом (A1). Більш реалістично було б передбачити наявність в цьому процесі константи і тренда:

(A2) (A3) (A4)

yt = U0 + pyt-1 + St.

yt = j0 + j1 t + pyt-1 + St.

2

yt = U0 + U1 t + U2 t + pyt-1 + St.

Нульова гіпотеза в тесті Дики-Фуллера складається в тому, що ряд нестационарен і має один одиничний корінь (р= 1) (і при цьому jui = 0), альтернативна - що ряд стационарен (pHA: pH0: р= 1, ju = 0

Тут i = 0, якщо оцінюється (A2), i = 1, якщо оцінюється (A3), і i = 2, якщо оцінюється (A4).

Передбачається, що помилки st некоррелировани. Це припущення дуже важливе, без нього тест не буде працювати!

Для отримання статистики, за допомогою якої можна було б перевірити нульову гіпотезу, Дикі і Фуллер запропонували оцінити авторегрессию і взяти з неї звичайну t-статистику для гіпотези про те, що р = 1. При цьому тест є одностороннім, оскільки альтернатива р > 1, відповідна "вибуховому" процесу, не розглядається.

Незвичність DF полягає в тому, що за допомогою однієї t-статистики перевіряється гіпотеза відразу про два коефіцієнти. Якщо ми в регресії (A3) відкинули нульову гіпотезу, то приймаємо альтернативну гіпотезу, що процес описується рівнянням (A3) з pЧасто зустрічається дещо інакша інтерпретація цієї особливості даного тесту: перевіряється гіпотеза H0: р= 1 проти гіпотези HA: pПоскольку отримана статистика має нестандартний розподіл, для її використання потрібно спеціальні таблиці. Ці таблиці були отримані чисельно методом Монте-Карло. Всі ці статистики отримані на основі одного і того ж ПДП (A1) з р = 1, але з асимптотической точки зору годиться і для інших ПДП, незважаючи на наявність заважаючих параметрів, які доводиться оцінювати.

Щоб зручно було використовувати стандартні регресні пакети, рівняння регресії перетворюються так, щоб залежною змінною була перша різниця. У випадку (A1) маємо рівняння (ф = р- 1): Ay = ф yt-1 + Це означає, відповідно, що в регресії немає константи (nc), є тільки константа (з), є константа і лінійний тимчасова тренд (ct), є константа, лінійний тренд і квадратичний тренд (ctt). (Дикі і Фуллер використали інші позначення, тут використовуються позначення Мак- Киннона).

Наступна таблиця показує, яку статистику можна застосовувати в якій ситуації. ПДП з р = 1, відповідний нульовій гіпотезі Регресія A1 A2 A2 A1 Tnc A2 Tc t t A3 Tct Tct t A4 Tctt Tctt Tctt В таблиці t означає звичайну t-статистику. Справа в тому, що коли регресія співпадає з ПДП і в регресії є детермінований змінні (константа, тренд), то звичайна t-статистика асимптотически має стандартний нормальний розподіл і тому для перевірки гіпотези годяться звичайні критичні межі. Правда ця властивість істотно асимптотическое,

і в малих вибірках дійсний рівень значущості, як показують імітації Монте-Карло, може сильно відрізнятися від номінального. Тому переважно додати в регресію додаткову змінну і скористатися тестом Дики-Фуллера з нестандартними критичними межами, які хоч і є також асимптотическими, але пов'язані з меншими спотвореннями розміру тесту.

З цієї таблиці видно, що якщо можна передбачити, що змінна нестационарна, що розглядається і має тренд, то почати тестування слідує з регресії (A4) і відповідного тесту Tctt.

Оскільки невідомо, чи присутні в ПДП константа і тренд, то корисно мати тести, які б дозволили перевірити відповідні гіпотези.

Такі тести були запропоновані Дикі і Фуллером. У разі всіх цих тестів (на відміну від DF) гіпотеза, що дійсно перевіряється співпадає з гіпотезою, що номінально перевіряється (або, згідно з альтернативною інтерпретацією, регресія, що оцінюється співпадає з ПДП, яким він передбачається відповідно до альтернативної гіпотези). По суті справи використовуються звичайні F- і t-статистики для відповідних гіпотез, тільки критичні межі беруть інші. Знову ж, при отриманні цих таблиць методом Мон-те-Карло використовується виключно ПДП (A1) з р = 1, тому тести є асимптотическими.

При оцінюванні регресії вигляду (A2) отримуємо дві статистики: t- статистик для гіпотези j = 0 і F-статистик для гіпотези j = 0 і р = 1. При оцінюванні регресії вигляду (A3) отримуємо чотири статистики: t- статистик для гіпотези j = 0, t-статистик для гіпотези j = 0, F- статистику для гіпотези ju1 = 0 і р = 1 і F-статистику для гіпотези j = 0, j1 = 0 і р= 1.

Було б природно передбачити, що щойно описані F- статистики було б переважніше використати, ніж ADF-тести, оскільки дійсна гіпотеза для них співпадає з номінальною і є якраз тією гіпотезою, яка і перевіряється в ADF-тестах. Однак ці статистики є двосторонніми і, тим самим, не відкидають можливість "вибухового" процесу, що повинно приводити до втрати потужності тесту.

Якщо гіпотеза про наявність одиничного кореня не була знехтувана, то t- статистики для j = 0 і у= 0 можуть бути корисні для визначення точного вигляду нестаціонарного процесу - чи є в ньому "дрейф" і тренд.

Припущення про те, що змінна слідує авторегрессионному процесу першого порядку і помилки некоррелировани, є, звісно, дуже обмежувальним. Тест Дики-Фуллера був модифікований для авторегрессионних процесів більш високих порядків і отримав назву доповненого тесту Дики-Фуллера (augmented Dickie-Fuller test, ADF).

Базові рівняння придбавають наступний вигляд:

L

Ayt = (р- 1) yt-1 + I Ay- + St. (B1)

l = 1

L

Ayt = !Mo + (р- 1) yt-1 +1 Ayt-i + St. (B2)

l = 1

L

Ayt = !про + !1 t + (р- 1) yt-1 + I Ay- + St. (B3)

l = 1

L

Ayt = !! + !1 t + ! t2 + (р- 1) yt-1 + I Ayt-i + St. (B4)

l = 1

Розподілу цих тестів асимптотически співпадають з відповідними звичайними тестами Дики-Фуллера, і використовують ті ж таблиці. Грубо говорячи, роль додаткової авторегрессионной компоненти зводиться до того, щоб прибрати автокорреляцию із залишків. Процедура тестування не відрізняється від описаної вище.

Як показали експерименти Монте-Карло, тест Дики-Фуллера чутливий до наявності процесу типу змінного середнього в помилці. Цю проблему частково можна зняти, додаючи в регресію досить багато лагов першої різниці (Said and Dickey, 1984). Щоб тест був спроможним, потрібно збільшувати L із зростанням кількості спостережень згідно з певним законом.

На практиці вирішальним при використанні ADF є питання про те, як вибирати L - порядок AR-процесу в регресії, що оцінюється. Можна запропонувати наступні підходи.

1) Оскільки важливо, щоб залишки були як можна більш схожі на "білий шум", то потрібно вибирати таке число L, щоб тест на автокорреляцию залишків показав відсутність значущої автокорреляції. Оскільки додаткові лаги не міняють асимптотические результати, то краще взяти більше лагов, ніж менше. Однак цей останній аргумент вірний тільки з асимптотической точки зору.

2) Інший підхід складається в тому, щоб вибирати L на основі звичайних t- і F-статистик для відповідних додаткових регрессоров.

ADF може давати різні результати в залежності від того, яким вибрано кількість лагов. Навіть додавання лага, який "не потрібен" згідно щойно приведеним критеріям, може різко змінити результат тестування.

Особливу проблему створює наявність сезонної компоненти в змінній. Якщо сезонність має детермінований характер, то досить додати в регресію фіктивні сезонні змінні - це не змінює асимптотического розподілу ADF-статистики. Для випадку стохастичної сезонності також є спеціальні модифікації тесту.

Поки ми розглянули тести 1(1) проти 1(0). Тимчасової ряд може бути інтегрованим і більш високого порядку. Як нескладно зрозуміти, тести 1(2) проти 1(1) зводяться до розглянутих, якщо взяти не рівень ряду, що тестується, а першу різницю. Аналогічно для більш високих порядків інтегрування.

Імітації показали, що потрібно перевіряти гіпотези послідовно, починаючи з найбільш високого порядку інтегрування, який можна чекати апріорно. Т. е., спочатку потрібно перевірити гіпотезу про те, що ряд є 1(2), і лише після цього, якщо гіпотеза була знехтувана, що він є 1(1). (См. Dickey and Pantula, 1987.) Тестові завдання по дисципліні Земельні спори: Земельна суперечка: A. спор про право на земельну дільницю B. про відмову в:  Тестові завдання по дисципліні Земельні спори: Земельна суперечка: A. спор про право на земельну дільницю B. про відмову в наданні для до/ф х. C. тимчасовому вилученні з/у D. невчасному внесенні платежів за з/у E. спори, пов'язані з охороною земель F. відмова в реєстрації з/ч Вимоги до
Тестові завдання: 1. Елементи банківської системи: а) Центральний банк РФ (Банк Росії);:  Тестові завдання: 1. Елементи банківської системи: а) Центральний банк РФ (Банк Росії); б) Ощадбанк; в) галузеві комерційні банки; г) фінансові компанії; д) фондові біржі; е) товарні біржі 2. Назвіть основні задачі Центрального банку РФ а) кредитування
Тестові завдання: 1. Які ланки фінансової системи відносяться до загальнодержавних:  Тестові завдання: 1. Які ланки фінансової системи відносяться до загальнодержавних (централізованим) фінансів? а) фінанси господарюючих суб'єктів; б) державний бюджет; в) фінанси освіти; г) державний кредит. 2. Які фінансові плани
Тестові завдання: Банк - це: а) установа, що залучає внески юридичних і:  Тестові завдання: Банк - це: а) установа, що залучає внески юридичних і фізичних осіб; б) кредитна організація, що має виняткове право здійснювати в сукупності наступні банківські операції: залучення у внески грошових коштів фізичних і
Тестові завдання: Що є основою теорії кредиту: а) розподільна концепція;:  Тестові завдання: Що є основою теорії кредиту: а) розподільна концепція; б) перераспределительная трактування; в) кредитна історія; г) фондова теорія. У кредитній операції об'єктом передачі виступає вартість: а) споживча; б) грошова; в)
Тестові задания:: Пряме фінансування - це: А зниження налоговБ. емісія:  Тестові задания:: Пряме фінансування - це: А зниження налоговБ. емісія корпоративних облигацийВ. економія фонду оплати трудаГ. емісія акцийД. нарахування амортизацииОтвет: Би, Г. Косвенноє фінансування - це: фінансування шляхом випуску акцій і облігацій
Тест «чи Організований ви людина?»: послужить не тільки для перевірки особистої організованості, але і буде:  Тест «чи Організований ви людина?»: послужить не тільки для перевірки особистої організованості, але і буде засобом, який може спонукати до збагнення секретів самоорганизації, до виробітку організаційних навиків і звичок. Виберіть в кожному питанні найбільш відповідний для вас