На головну сторінку   Всі книги

Тест на нормальність

Задача цього параграфа - отримати статистику множника Лагранжа, яка дозволила б перевіряти гіпотезу про те, що помилки в регресії розподілені нормально. Ідея складається в тому, щоб розглянути модель з помилкою з деякого сімейства безперервних розподілів, так щоб нормальний розподіл був окремим випадком.

Зручно взяти, наприклад, пирсоновское сімейство розподілів.

Густина розподілу (з нульовим мат. очікуванням) з пирсоновского сімейства задається експонентою функції.

Є c1 - t,

^(Є, з) = 1 з/ - C1t + Co dt.

Оскільки інтеграл густини розподілу повинен бути рівний 1, то цю функцію потрібно пронормировать:

exp у (ц)

Рє(і) = +ж.

j exp у(t) dt

- же

Нульова гіпотеза ( "нормальність") полягає в тому, що помилки в лінійній регресії Y по X розподілені нормально. Нормальний розподіл є пирсоновским розподілом з параметрами с1 = 0, с2 = 0: Ho: C1 = 0, C2 = 0 ^ Є~ N(0, з) (при Co = а).

Логарифмічна функція правдоподібності є логарифм густини розподілу. Для i-го спостереження:

+же

li = у(Yi - Xi в) - ln j exp у(t) dt.

- же

Знайдемо внесок в градієнт i-го спостереження при виконанні нульової гіпотези.

^ = - ^ X = - 2C1 - gi X

дв дє 1 C2 et - C1 ЄІ + C0 ^

Н = Є Xi =.

H0 C0 а

д?1 дв

Похідні по параметрах ск пирсоновского розподіли рівні

j-^ exp у(t) dt

dli 8w °Ck 8w d у(t) /41

~ =dck - і Pє(t)dt =

dCk

d Ck d Ck

- так

j exp у(t) dt

- від

(k = 0, 1, 2).

J1 -E(Т^)

dCk dCk

Щоб їх обчислити, треба обчислити похідні функції у (.) по ck (k = 0, 1, 2). Досить знайти їх при нульовій гіпотезі:

d у (м)

dc0

d у (м)

dC1

d у (м)

dC2

м

4.

1 м = -2 j tdt =

H0 C0

2a

м

м

1 м 1 м

= - j dt - -2 j t2 dt =

n ГГ, - > J

4.

H0 C0 C0 a2 3a

м

1 м

Н = -T j t3dt =

4 а

H0 C0

Математичні очікування цих похідних як функцій від є рівні

d у (є)

dC0

d у (є)

1

Е(

2,

Н

2a

3,

) =) =

H) = Е(4 - a) = 0,

dC1

d у (є)

dC1

H0 а 3a

є 3

Н

,) = Е(4a) = 4.

Підставимо знайдені вирази в градієнт логарифмічної функції правдоподібності, ввівши позначення ЄІ = є/а

G0 = Лі.

H0 2a

G - d C0

G1 = Ш±

Н

а 3a 31

0a

G0 i d C1

He 4a4 4 4

G2 = G0, d C2

В тих же позначеннях

- / 2 24 1 /~2 14 4 (є,- - a) = 2a2^i - 1),

3

1

3a4 = Зо (ЗЄ - Є,),

4

Є 3 1 /~4 тч

- 4 - 4 = 4(Є - 3).

Н = ^ЄіХІ.

H0 а

GP = dli G0 і dp

Знайдемо інформаційну матрицю, враховуючи, що моменти стандартного нормального розподілу (n ~ N(0,1)) рівні

' 0

k Ik - непарне Е(n) = I 1-3-...-(k- 1),. k - парне

Е(n4) = 3, Е(n 6) = 15, Е(n 8) = 105. Інформаційна матриця для i-го спостереження:

^тФ=а? х > х ^=а ХТХІ.

Е (р0 і Gfi) = Е(G0 ПРО?) =

Е(G1 рв) = за (3E ЄЄ - EЄ 4) Х, = Об (3 - 3)Xi = 0T,

4,

1-а 4 ' 2а

- 0 ч л Т-/А-1 ^2

Е(G0 і)(2)=а (ЕЄ - 2ЕЄ/ + 1)=404 (3 - 2 + 1) = 2

Е (р0 і р0 І) = 0 Е (р0 І р0 І) = 0

1

1

2

Е(P1 І)2) = 90І (Е^6 - 6ЕЄ4 + 9БЄГ2) = ОБ (15 - 6-3 + 9) = 3^, Е(G0 р2 і) = ОБ (EЄЄ - EЄЄ - 3EЄ2 + 3) =

1

3

2.

8 а

а

- (15 - 3 - 3 + 3) = -

Е(G-,.) = ^ (Eg8 - 6ЕЄ4 + 9) = ^ (105 - 6-3 + 9) = 6.

Просуммируем по всіх спостереженнях і складемо блок інформаційної матриці, що відноситься до з. Оскільки інформаційна матриця блоково- діагональна між з і в, то для знаходження цікавлячої нас статистики досить цього блоку:

1 3

1 4 0 ~ 2 2а " 2а

0

0

2

- > - 3а

I = N

3

0 6

про -

_ 2а

сс

Зворотна матриця:

8 а 0

- 1

3 2 2a

1

N

0 - 2 а

(I)

v cc'

- 2a2 0

0 2

3 J

Тест множника Лагранжа рівний LM = gcT(Z cc) g і розподілений асим-птотически як X з 2-мя мірами свободи. Градієнти тут рівні (е,- - нормовані залишки)

0

I, (3 ег - е, 3) ^ 4 z, (е, 4 - 3) j

gc

1 3a 1

Тому

LM = ^N (Z, (3 ег - е, 3))2 + 241N (z, (е- - 3))2.

Два доданків, що становлять цю статистику, асимптотически незалежні, і кожне розподілене як х (1). Перший доданок являє собою тест на асиметрію, а друге - тест на ексцес. Цю ж статистику можна отримати і за допомогою інших сімейств розподілів. Тут ми знову стикаємося з локально еквівалентними альтернативами.

Точно такий же підхід може бути використаний в інших моделях з нормально розподіленими помилками. Автори тесту Жарк і Бера (Jarque, Bera), застосували цей підхід до пробиту і моделям з усіченою і цензуриро- ванною залежною змінною. Тести: Для того, щоб обмежити невизначеність і зменшити ризик,:  Тести: Для того, щоб обмежити невизначеність і зменшити ризик, підприємству потрібно провести тести по пунктах, які воно вважає ключовими в своїй комерційній політиці: випуск нового для країни товару, визначення ціни продажу, вибір марки,
Тест: «Ваші здібності як керівника»: Керівник, приймаючи управлінське рішення, повинен уміти вплинути:  Тест: «Ваші здібності як керівника»: Керівник, приймаючи управлінське рішення, повинен уміти вплинути на підлеглих з тим, щоб переконати їх в правильності рішення, заручитися підтримкою, що забезпечить якісне виконання рішення. Перевірте наявність у вас такої
ТЕСТ 2 РОЗДІЛ 2. ОСОБЛИВА ЧАСТИНА: № 1 Якщо клієнт уклав терміновий договір банківського внеску з:  ТЕСТ 2 РОЗДІЛ 2. ОСОБЛИВА ЧАСТИНА: № 1 Якщо клієнт уклав терміновий договір банківського внеску з банком: Він має право в будь-який час розірвати даний договір і отримати відсотки по ньому Взагалі не має право розірвати даний договір до закінчення його терміну Він має право в будь-який час
Тест 1. І-прикол (гумор-тест): 1-й рівень. Прочитайте нижченаведені жарти про віртуальний мир.:  Тест 1. І-прикол (гумор-тест): 1-й рівень. Прочитайте нижченаведені жарти про віртуальний мир. Скільки разів ви посміхнулися? За кожну усмішку нарахуєте собі 1 бал. Прім. а) Не більше за 1 бали за шту... за жарт; б) нараховувати тільки після зіставлення вашої реакції з поясненнями
Тестові завдання: 1. Які основні чинники впливають на організацію фінансів:  Тестові завдання: 1. Які основні чинники впливають на організацію фінансів підприємства? а) організаційно-правова форма господарювання; б) чисельний склад і кваліфікація працівників; в) склад основних коштів підприємства; г) галузеві
Тестові завдання: Банк - це: а) установа, що залучає внески юридичних і:  Тестові завдання: Банк - це: а) установа, що залучає внески юридичних і фізичних осіб; б) кредитна організація, що має виняткове право здійснювати в сукупності наступні банківські операції: залучення у внески грошових коштів фізичних і
Тестові завдання: Який вплив інфляції на національну економіку країни?:  Тестові завдання: Який вплив інфляції на національну економіку країни? Антиінфляційна політика являє собою: а) політику, направлену на зменшення емісії; б) комплекс заходів з державного регулювання економіки, направлений на обмеження