Головна   Всі книги

з За. Волатільность. Визначення і приклади

1. Мабуть, жодне поняття в фінансовій математиці не носить так суперечного характеру і не дискутується так широко, як поняття волатильности. Будучи синонімом изменчивости2} волатильность визначається багатьма різними способами, а сам термін використовується для найменування різноманітних заходів мінливості.

Якщо Sn = SoeHn, Але = 0, причому АНп = аєп, п ^ 1, де (єп) - білий гауссовский шум, єп ~ JY(0,1), то під волатильностью розуміють природну тут міру невизначеності і мінливості - стандартне відхилення а.

Нагадаємо, що якщо випадкова величина? ~ СГ2), те

Р (-м¦і

Р (¦4 образом, приблизно в 90 % випадків можна чекати, що результат спостереження над? буде відхилятися від середнього значення /і не більше, чемна 1.65 ст.

У схемі "5" = Sn-iehn" величини hn звичайно малі і тому

Sn ~? «-1(1 + hn)-

Отже, якщо hn = сгє", то можна затверджувати, що при знанні ціни S"_ і "сьогодні" її значення Sn "завтра" в 90% випадків буде лежати в інтервалі [5"_i(l - 1.65 cr), Sn_i(l + 1.65сг)] і, значить, тільки приблизно в 5% випадків Sn буде більше Sn_i(l + 1.65сг) верб 5% випадків - менше 5"_i(l - 1.65 ег).

Зауваження 1. Викладене пояснює, чому в деякому керівництві по фінансовій справі (див., наприклад, [404]) як міра волатильности замість стандартного відхилення а виникає величина v = 1.65 а.

2. Розглянута гауссовская модель "/іп = сгє", n ^ 1" як ми вже бачили раніше, вельми далека від реальності. Більш найбільш реалістичне услов- но-гауссовские моделі типу "/г" = сгпєп, п ^ 1" де послідовність з = (сп) п^і є випадковою послідовністю, причому сг" - 3-п-\-измерими, а єп - 3-п-вимірні, де (&п) ~ потік "інформації" (наприклад, про значення цін; детальніше див. з 2а в гл. I).

По сталій традиції послідовність а = (сгп) п^ і прийнято також називати послідовністю волатильностей (в моделі, що розглядається), випадковий характер яких висловлюють, що "волатильность сама по собі волатильна" Помітимо, що

Е(h2n ¦3W) = a2 (3)'

і послідовність Н = (зі значеннями Нп = h\-{ 1- hn,

E\hn\2п

(Я) п = ^Е (4¦^_г), п > 1. (4)

до=1

Згідно (3),

п

(Н)n = Y°l (5)

до= 1

тому квадратическую характеристику

(Н) = ({Н) п,#п) п > 1

природно називати волатильностью послідовності Н. Ясно, що

ЕЯ2 = Е (Я) П. (6)

3. У разі моделей ARCH{р)

р

(див. з За в гл. II).

Тим самим, для таких моделей проблема оцінювання волатильнос- тей ап зводиться до параметричної задачі оцінювання коефіцієнтів a0, ai,...,ap.

Існують і інакші, непараметричні, наприклад, методи оцінювання волатильности. Так, якщо hn = + сгп? п, ті ^ 1, де р = (рп) і а = (сгп) - стаціонарні послідовності, то природною оцінкою для сгп є стандартна оцінка

- 1 " де hn = - Y1 hk.

п k=i ^

Цікаво відмітити, що емпіричну волатильность а = ()

~ і ^ з

rn = In, п > 2.

Численні спостереження і публікації (наприклад, [386; гл. 10]) показують, що величини логарифмічного повернення г = (rn)n^2 вельми швидко міняють свої значення, що вказує на негативну коррелированность значень г" і гп+і, п ^ 2. Якщо взяти, наприклад, індекс S&P500 і до відповідних величин г - (rn)n^2 застосувати 7?/-аналіз (див. з2а, гл. III, і розділ 4 справжнього розділу), те ефект негативної коррелированности буде підтверджуватися в повній мірі. При цьому, в першому наближенні величини г = (гп) можна вважати гауссовскими, і тому їх негативна коррелированность (разом з властивостями, що спостерігаються автомодельности) може розглядатися як аргумент на користь того, що ця послідовність є фрактальний шум з параметром Харста Іможно також розглядати як деякий фінансово-статистичний індекс і застосовувати для його аналізу ту ж саму методологію і техніку, що і при дослідженні самих цін S = (Sn)n^i ¦ З цією метою введемо величини

4. Усвідомленню важливості поняття волатильности багато в чому сприяла відома робота Ф. Блека і М. Шоулса [44], 1973 р., в якій була дана формула для справедливої (раціональної) вартості Ст стандартного оппиона-колл (див. з lb в гл. I). Згідно з цією формулою, величина Ст не залежить від р. (факт, на перший погляд, дивний!), але залежить від значення волатильности о, вхідної в формулу, що визначає еволюцію цін акцій S = (St)t^про:

(10)

де W - (Wt)t > 0 - стандартний винеровскийпроцесс.

Звісно, припущення про те, що в моделі (10) волатильность о, по-перше, є константою, а по-друге, відомою константою, мало реалістично. Тому стає зрозумілим, що застосування на практиці формули Блека і Шоулса вимагає хоч би деякого наближеного уявлення про можливе значення волатильности, і це потрібне не тільки для визначення справедливої вартості опціонів, але і для визначення міри ризику при прийнятті рішень для моделей, де піни описуються формулами (9) і (10) в з lb, гл.

Для відповідного визначення визначимо Сt = Ct (сг; Т) - значення (теоретичне) піни купівлі в момент t(Н)

Q = Ct(про; Т).

Так знайдене значення о, обозначаемоеСледует відмітити, що по характеру своєї поведінки передбачувана волатильность схожа з емпіричної волатильностью, визначуваної (у разі безперервного часу) по формулах типу (8).

При цьому вельми чітко простежується її негативна коррелированность і фрактальна структура (див., наприклад, [386; гл. 10]).

Піна Ct - теоретична піна. На практиці ж є реально оголошена в момент t ціна Ct, яку можна використати для відшукання кореня рівняння

5. Зупинимося на еше одному підході до визначення волатильности, заснованому на розгляді варіаційних характеристик процесу Я = що визначає ціни S = (St)t^cb St = SocHt. Багато які

статистичні спостереження, а також економічні аргументи говорять на користь того, що процеси Я = (Ht)t^про володіють властивостями автомодельности, що означають, зокрема, що закони розподілів величин Ht+д - Ht при різних Д > 0 володіють деякими властивостями подібності (див. розділ 2 в гл. III).

Нагадаємо, що якщо Я =. Ви - фрактальний броунівський рух, то для всякого Д > 0 і t > Об

Е¦Я4+д¦ = У¦Дн (12)

і

Е¦Я*+д-Я*¦2 = Д2Н. (13)

Для суворо «-стійкого руху Леві з параметром 0Е¦Я4+Д - Ht\ = Е¦Отрута¦ = Д1/'аЕ¦Ях¦. (14)

Тому, означаючи Н = 1/а, знаходимо

Е¦Я*+д -Ht\ = ДиЕ¦Яі¦, (15)

що схоже з формулою (12) для фрактального броунівського руху.

Приведені формули і міркування, засновані на законі великих чисел, підказують природність введення варіаційних характеристик і проведення на їх основі статистичної перевірки того, що процес Я = (Ht)f?Oi що бере участь в формуванні цін S - (St)t^ > о, є автомодельним процесом типу фрактального броунівського руху або а-стійкого руху Леві.

Потрібно при цьому підкреслити, що з точки зору статистичного аналізу різним групам інвесторів можуть бути цікаві різні тимчасові інтервали і тимчасові горизонти.

Так, для короткострокових інвесторів цінність представляють дані значень пен S - [St)t^про в моменти часу tk ' kA, k > 0, з малим тимчасовим інтервалом Д > 0 (порядку декількох хвилин, і навіть секунд). Для довгострокових інвесторів подібна інформація малоцікава і для них цінність мають дані про зміни в цінах через великі тимчасові інтервали (місяці, і навіть роки), інформація про наявність

циклів (як періодичних, так і неперіодичних) і їх тривалість, інформація про трендових явища і т. п.

Маючи це у вигляду, будемо надалі явно вказувати вибираний тимчасової інтервал А (як одиниця вимірювання, як характеристичний тимчасової масштаб інвестора), а також той інтервал (а, 6], на якому нас цікавить еволюція і характер мінливості фінансового індексу, що розглядається.

6. Про мінливість процесу Я - (-Ht)t^про на тимчасовому інтервалі (, 6] хороше уявлення може дати Д-варіація

Var(a, b](tf; Д) =? \Htk - Htk_x\, (16)

де підсумовування проводиться по всім тим до, для яких а ^ ifc, що для "досить регулярних" функцій (реалізацій) Н = [Ht)][а^.t^.][b ималих Д > 0 величина Уаг (аЬ] (Я; Д) би лизка до варіації

Увх {аМ (Н)= [s\, (17)

J а

яка по визначенню є

зпр^ІЯ^І, (18)

де sup береться по всіх кінцевих разбиениям (to, ¦ ¦ ¦, tn) інтервалу (а, 6] таким, що а - toПри статистичному аналізі процесів Я = (Ht)t^про, що приблизно мають однорідні прирости, доцільно оперувати не з Д-варіаціями УаГ (а) ц (Я; Д), а з нормованими величинами

" (тт. var(a, b])(№a)

^(а, Ь](Я; А) - j^I-¦, I19)

які будемо називати (емпіричними) А-волатільностямі на (а, Ь].

Корисним часто виявляється також розгляд Д-волатільності порядку 6 > Об

i*?bl(-' А > = to/ ''

Уаг %Ь](Я; А)

де

Var(?,f > ])(№ Л) =? 1я¦" означає збіжність по імовірності.

Якщо Н - суворий а-стійкий рух Леві, 00

Varg^tf^) Ат. (23)

Зауваження 2. Випадкові процеси Н = (Ht)t^про, що володіють властивістю (23), прийнято називати процесами нульової енергії (див., наприклад, [166]). Тим самим, з (22) і (23) витікає, що фрактальний броунівський рух cl/21/2 є процесами нульової енергії.

7. Статистичне дослідження волатильности з допомогою 7, що викладається далі? /5-аналізу (див. розділ 4) дозволяє виявити ряд чудових і несподіваних властивостей, які дають можливість перевірки тих або інакших гіпотез відносно просторово-часової структури процесів Н = [Ht)t^0 (у разі моделей з безперервним часом) і Н = (Нп) п-^0 (у разі дискретного часу). Наприклад, для багатьох фінансових індексів досить визначено треба відкинути гіпотезу про незалежність величин hn, п ^ 1, створюючу послідовність Н = (Нп) п^0. (У разі безперервного часу цьому відповідає відхилення гіпотези про те, що Н = {Ht)t^0 є процесом з незалежними приростами.)

У той же самий час, аналіз Д-волатільності і 1Z/^-статистики говорять на користь того, що насправді величинам hn, п ^ 1, властиво задоволена-таки сильна післядія, яка дає підставу сподіватися на '' нетривіальний" прогноз майбутнього руху пен.

Фрактальна структура волатильности виявляється для багатьох фінансових індексів (акцій, облігацій, індексів типу Dow, S&P500,...). При цьому, найбільш опукло вона видно в обмінних курсах валют, про що піде мова в наступному параграфі. Питання №32. Економічна рівновага і циклічність суспільного:  Питання №32. Економічна рівновага і циклічність суспільного виробництва: Центральне місце в курсі економічної теорії займає проблема макроекономічної рівноваги. Походження і постійний розвиток проблеми нерозривно пов'язане з процесом в суспільному розподілі праці, в спеціалізації і кооперуванні
Питання №49. Економічні аспекти глобальних проблем:  Питання №49. Економічні аспекти глобальних проблем: Виникнення глобальних проблем пов'язане з конкретною сферою життєдіяльності суспільства і з конкретною середою, де реалізовується та або інакша сфера діяльності людей. Проблеми взаємовідношення людини і суспільства з природою і самих суспільних
Питання 51. Економічна роль держави: Економічні функції сучасної держави реалізовуються через його:  Питання 51. Економічна роль держави: Економічні функції сучасної держави реалізовуються через його економічну політику. Нова історія економічної політики бере свій початок з епохи становлення підприємницького ладу і первинного накопичення капіталу. Меркантилізм
Питання 19 Депозитний мультипликатор. Чинники, що визначають величину:  Питання 19 Депозитний мультипликатор. Чинники, що визначають величину депозитного мультипликатора: Депозитний мультипликатор. Чинники, що визначають величину депозитного мультипликатора. Банківський мультипликатор являє собою процес збільшення (мультиплікація) грошей на депозитних рахунках комерційних банків в період їх руху від одного
Питання 3. Бюджетний процес: Під бюджетним процесом розуміється складання, розгляд,:  Питання 3. Бюджетний процес: Під бюджетним процесом розуміється складання, розгляд, твердження і виконання бюджетів різних рівнів. Складанню проектів бюджетів передують розробка прогнозів соціально - економічного розвитку РФ, суб'єктів РФ, муніципального
Питання № 18. Концепції грошей і сучасні зміни в грошовому оборот:  Питання № 18. Концепції грошей і сучасні зміни в грошовому оборот: Тривала і суперечлива історія розвитку товарного виробництва і звертання не могла не позначитися на відмінностях у поглядах економістів на проблему походження грошей. Еволюційна теорія грошей спирається на їх товарну природу, т. е. на розвиток
Питання 1. Характеристика бюджетного пристрою і бюджетної системи.:  Питання 1. Характеристика бюджетного пристрою і бюджетної системи.: Під бюджетним пристроєм розуміється організація і принципи побудови бюджетної системи, її структура, взаємозв'язок між окремими ланками. Воно засноване на юридичних нормах, що визначають компетенцію центральних, територіальних і місцевих

© 2018-2022  epr.pp.ua